Une nouvelle solution à un puzzle géométrique d'une décennie pourrait dévoiler les secrets de la structure interne de notre planète : Les mathématiciens disent qu'ils ont résolu un problème majeur de géométrie depuis des décennies: comment reconstruire la structure interne d'un objet mystérieux ' X ' en sachant seulement comment les vagues rapides se déplacent entre deux points quelconques de sa frontière. Le travail a des implications dans des situations réelles, comme pour les géophysiciens qui utilisent les ondes sismiques pour analyser la structure de l'intérieur de la Terre. Les ondes sismiques se propageant à travers l'intérieur de notre planète pourraient théoriquement permettre la cartographie complète de la subsurface cachée de la Terre ; Alors, comment, les mathématiques pourraient aider à planifier l'intérieur de la Terre :
Regard vers l'intérieur
Le problème est appelé la conjecture frontière-rigidité. Il appartient au domaine de la géométrie riemannienne, à la théorie moderne des espaces courbes avec un nombre quelconque de dimensions. Albert Einstein a construit sa théorie générale de la relativité - dans laquelle la masse déforme la géométrie de l'espace- temps - sur cette branche des mathématiques.
Les mathématiciens savaient déjà que la façon dont la courbure varie d'un endroit à l'autre à l'intérieur d'une «variété riemannienne» - le jargon mathématique de l'espace courbe - détermine les chemins les plus courts entre deux points quelconques.
La conjecture renverse les choses: elle dit que connaître les longueurs des chemins les plus courts entre les points d'une frontière détermine essentiellement la courbure tout au long. (On dit donc que la géométrie est «rigide»). Ainsi, en mesurant la vitesse à laquelle les ondes se déplacent à l'intérieur d'un espace, on peut déterminer les chemins les plus courts et théoriquement la structure globale.
La conjecture remonte à au moins 1981, lorsque le regretté mathématicien René Michel 1 formulé certaines hypothèses techniques sur les espaces pour lesquels il devrait être vrai. (Ce n'est pas vrai pour les variétés riemanniennes en général.)
Le co-auteur de Vasy, Gunther Uhlmann, mathématicien à l'Université de Washington à Seattle, travaille sur ce problème depuis la fin des années 1990, et lui et un collaborateur l'avaient déjà résolu pour des variétés riemanniennes bidimensionnelles, . Maintenant, Vasy et ses collaborateurs l'ont résolu pour des espaces qui ont trois dimensions ou plus.
Couche par couche
Dans l'espace-temps d'Einstein, la courbure produit une lentille gravitationnelle , un phénomène familier aux astronomes, dans lequel le chemin de la lumière se plie autour d'objets massifs comme les étoiles. Des mathématiques similaires s'appliquent à la lentille conventionnelle ou à la réfraction: les rayons lumineux ou les ondes sonores changent de direction lorsque le milieu par lequel ils se déplacent change.
Dans le cas des ondes sismiques - générées par des événements tels que les tremblements de terre - les différentes propriétés de la Terre à différentes profondeurs signifient que le chemin le plus court pour ces vagues n'est généralement pas une ligne droite, mais courbe. Depuis le début des années 1900, les géophysiciens ont utilisé ce fait pour cartographier la structure interne de la planète, et c'est ainsi qu'ils ont découvert le manteau et les noyaux internes et externes.
Ces découvertes étaient enracinées dans des traitements mathématiques qui présentaient des hypothèses simplificatrices. Jusqu'à présent, il n'était pas évident que l'on puisse déterminer complètement la structure de la Terre en utilisant uniquement les temps de déplacement des vagues.
Mais c'est ce que démontrent Vasy et son équipe - et le problème géophysique était une motivation clé pour résoudre la conjecture.
Leur hypothèse, différente de celle de Michel, était que l'espace incurvé, ou collecteur, est structuré avec des couches concentriques. Cela leur a permis de construire une solution par étapes. «Vous allez couche par couche, comme peler un oignon», dit Uhlmann. Pour les applications pratiques, cela signifie que les chercheurs ne savent pas seulement qu'il existe une solution unique au problème; Ils auront également une procédure pour calculer cette solution explicitement.
Les trois mathématiciens ont diffusé leur document de 50 pages, actuellement non publié mais vu par l'équipe de nouvelles de Nature , parmi un petit bassin d'experts. Selon les commentaires reçus, les auteurs espèrent publier le document sur le dépôt arXiv et le soumettre à un journal dans les deux prochaines semaines, dit Vasy.
De la théorie à la réalité
Vasy dit que le travail pourrait être utile pour les personnes qui développent des techniques d'imagerie médicale comme l'échographie, ainsi que pour les sismologues.
Mais l'application de la théorie aux données géophysiques réelles ne se produira pas immédiatement, dit Maarten de Hoop, un sismologiste informatique à l'Université Rice à Houston, au Texas. Une difficulté est que la théorie suppose qu'il ya de l'information à chaque point. Mais en réalité, les données ne sont recueillies qu'à des endroits relativement clairsemés . Uhlmann dit qu'il travaille sur ce problème avec des collègues qui se spécialisent dans l'analyse numérique.
"Sans détruire le ' X ', pouvons-nous comprendre ce qui est à l'intérieur?", A demandé le mathématicien András Vasy de l'université de Stanford en Californie, quand il a présenté le travail dans une conférence à l'université de Londres (UCL) la semaine dernière. "Une façon de le faire est d'envoyer des vagues à travers elle", at-il dit, et de mesurer leurs propriétés.
Maintenant, Vasy et deux de ses collaborateurs nous disent 'ils.
Le problème est appelé la conjecture frontière-rigidité. Il appartient au domaine de la géométrie riemannienne, à la théorie moderne des espaces courbes avec un nombre quelconque de dimensions. Albert Einstein a construit sa théorie générale de la relativité - dans laquelle la masse déforme la géométrie de l'espace- temps - sur cette branche des mathématiques.
Les mathématiciens savaient déjà que la façon dont la courbure varie d'un endroit à l'autre à l'intérieur d'une «variété riemannienne» - le jargon mathématique de l'espace courbe - détermine les chemins les plus courts entre deux points quelconques.
La conjecture renverse les choses: elle dit que connaître les longueurs des chemins les plus courts entre les points d'une frontière détermine essentiellement la courbure tout au long. (On dit donc que la géométrie est «rigide»). Ainsi, en mesurant la vitesse à laquelle les ondes se déplacent à l'intérieur d'un espace, on peut déterminer les chemins les plus courts et théoriquement la structure globale.
La conjecture remonte à au moins 1981, lorsque le regretté mathématicien René Michel 1 formulé certaines hypothèses techniques sur les espaces pour lesquels il devrait être vrai. (Ce n'est pas vrai pour les variétés riemanniennes en général.)
Le co-auteur de Vasy, Gunther Uhlmann, mathématicien à l'Université de Washington à Seattle, travaille sur ce problème depuis la fin des années 1990, et lui et un collaborateur l'avaient déjà résolu pour des variétés riemanniennes bidimensionnelles, . Maintenant, Vasy et ses collaborateurs l'ont résolu pour des espaces qui ont trois dimensions ou plus.
Couche par couche
Dans l'espace-temps d'Einstein, la courbure produit une lentille gravitationnelle , un phénomène familier aux astronomes, dans lequel le chemin de la lumière se plie autour d'objets massifs comme les étoiles. Des mathématiques similaires s'appliquent à la lentille conventionnelle ou à la réfraction: les rayons lumineux ou les ondes sonores changent de direction lorsque le milieu par lequel ils se déplacent change.
Dans le cas des ondes sismiques - générées par des événements tels que les tremblements de terre - les différentes propriétés de la Terre à différentes profondeurs signifient que le chemin le plus court pour ces vagues n'est généralement pas une ligne droite, mais courbe. Depuis le début des années 1900, les géophysiciens ont utilisé ce fait pour cartographier la structure interne de la planète, et c'est ainsi qu'ils ont découvert le manteau et les noyaux internes et externes.
Ces découvertes étaient enracinées dans des traitements mathématiques qui présentaient des hypothèses simplificatrices. Jusqu'à présent, il n'était pas évident que l'on puisse déterminer complètement la structure de la Terre en utilisant uniquement les temps de déplacement des vagues.
Mais c'est ce que démontrent Vasy et son équipe - et le problème géophysique était une motivation clé pour résoudre la conjecture.
Leur hypothèse, différente de celle de Michel, était que l'espace incurvé, ou collecteur, est structuré avec des couches concentriques. Cela leur a permis de construire une solution par étapes. «Vous allez couche par couche, comme peler un oignon», dit Uhlmann. Pour les applications pratiques, cela signifie que les chercheurs ne savent pas seulement qu'il existe une solution unique au problème; Ils auront également une procédure pour calculer cette solution explicitement.
Les trois mathématiciens ont diffusé leur document de 50 pages, actuellement non publié mais vu par l'équipe de nouvelles de Nature , parmi un petit bassin d'experts. Selon les commentaires reçus, les auteurs espèrent publier le document sur le dépôt arXiv et le soumettre à un journal dans les deux prochaines semaines, dit Vasy.
De la théorie à la réalité
Vasy dit que le travail pourrait être utile pour les personnes qui développent des techniques d'imagerie médicale comme l'échographie, ainsi que pour les sismologues.
Mais l'application de la théorie aux données géophysiques réelles ne se produira pas immédiatement, dit Maarten de Hoop, un sismologiste informatique à l'Université Rice à Houston, au Texas. Une difficulté est que la théorie suppose qu'il ya de l'information à chaque point. Mais en réalité, les données ne sont recueillies qu'à des endroits relativement clairsemés . Uhlmann dit qu'il travaille sur ce problème avec des collègues qui se spécialisent dans l'analyse numérique.
"Sans détruire le ' X ', pouvons-nous comprendre ce qui est à l'intérieur?", A demandé le mathématicien András Vasy de l'université de Stanford en Californie, quand il a présenté le travail dans une conférence à l'université de Londres (UCL) la semaine dernière. "Une façon de le faire est d'envoyer des vagues à travers elle", at-il dit, et de mesurer leurs propriétés.
Maintenant, Vasy et deux de ses collaborateurs nous disent 'ils.
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